제2장 근과 계수의 관계
[P4] 2.4 4차 방정식의 근과 계수의 관계 I
pomaths ・ 2024. 1. 22. 6:30
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목차
1) 4차 방정식의 근
2) 4차 함수의 그래프
3) 탐구 과제: 4차 함수의 대칭성
4) 근과 계수의 관계: (α + β + γ + δ), (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ), (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ), (αβγδ)
5) 예제
6) 연습문제
코멘트: 4차 함수의 그래프에 대한 내용이 당초 계획보다 길어졌습니다. 4차식의 근과 계수의 관계부터 보고자 한다면 바로 4)로 넘어가도 무방합니다.
1) 4차 방정식의 근
Roots of a quartic equation
4차 방정식은 총 4개의 근을 갖습니다. 이 4개의 근은 두 개의 2차 방정식에 기인한다고 볼 수 있습니다. 따라서 4차 방정식을 bi-quadratic equation이라고 부르기도 합니다.
2차 방정식의 근에는 서로 다른 실근, 중근, 복소근 이렇게 세 가지 가능성이 있습니다. 4차 방정식이 두 쌍의 2차 방정식에서 비롯되므로, 4차식의 근에는 총 3 x 3 = 9개의 가능성이 있습니다. 이를 나열하면 다음과 같습니다.
2개의 서로 다른 실근 x 2개의 서로 다른 실근 = 총 4개의 서로 다른 실근.
2개의 서로 다른 실근 x 1개의 중근 = 총 3개의 실근.
2개의 서로 다른 실근 x 2개의 켤레복소근 = 2개의 실근과 한 쌍의 켤레복소근.
1개의 중근 x 2개의 서로 다른 실근 = 3개의 실근. [그중 하나는 중근. 따라서 총 4개의 실근.]
1개의 중근 x 1개의 중근 = 2개의 중근.
1개의 중근 x 2개의 켤레복소근 = 1개의 중근과 한 쌍의 켤레복소근.
2개의 켤레복소근 x 2개의 서로 다른 실근 = 2개의 실근과 한 쌍의 켤레복소근.
2개의 켤레복소근 x 1개의 중근 = 1개의 중근과 한 쌍의 켤레복소근.
2개의 켤레복소근 x 2개의 켤레복소근 = 두 쌍의 켤레복소근.
이를 실근과 복소근의 개수를 기준으로 다시 정리하면 다음과 같습니다.
4개의 서로 다른 실근: (x - α)(x - β)(x - γ)(x - δ)
3개의 실근 = 2개의 서로 다른 실근과 1개의 중근: (x - α)(x - β)(x - γ)2
2개의 서로 다른 실근 = 두 개의 중근: (x - α)2(x - β)2
2개의 서로 다른 실근 = 근과 삼중근: (x - α)(x - β)3
1개의 사중근: (x - α)4
2개의 다른 실근과 한 쌍의 켤레복소근: (x - α)(x - β)(x2 + px + q)
1개의 중근과 한 쌍의 켤레복소근: (x - α)2(x2 + px + q)
두 쌍의 켤레복소근: (x2 + mx + n)(x2 + px + q)
한 쌍의 중복된 켤레복소근: (x2 + px + q)2
2) 4차 함수의 그래프
앞서 살펴본 9가지 경우를 그래프를 통해 살펴보겠습니다. 근과 계수의 관계는 4)에서 시작합니다.
(1) 4개의 서로 다른 실근: (x - α)(x - β)(x - γ)(x - δ).
(2) 3개의 실근 = 2개의 서로 다른 실근과 1개의 중근: (x - α)(x - β)(x - γ)2.
(3) 2개의 서로 다른 실근 = 두 개의 중근: (x - α)2(x - β)2. [그래프가 항상 대칭으로 나타남.]
(4) 2개의 서로 다른 실근 = 근과 삼중근: (x - α)(x - β)3.
(5) 1개의 사중근: (x - α)4. [그래프가 항상 대칭으로 나타남.]
(6) 2개의 다른 실근과 한 쌍의 켤레복소근: (x - α)(x - β)(x2 + px + q)
(7) 1개의 중근과 한 쌍의 켤레복소근: (x - α)2(x2 + px + q)
(8) 두 쌍의 켤레복소근: (x2 + mx + n)(x2 + px + q)
(9) 한 쌍의 중복된 켤레복소근: (x2 + px + q)2. [그래프가 항상 대칭으로 나타남.]
(9)의 그래프를 보면 늘 변곡점이 없는 u-모양으로 나타납니다. 이를 수식을 통해 확인하겠습니다. [계수 A가 있는 경우인 y = A(x2 + px + q)2로도 일반화시킬 수 있습니다.]
이를 통해 극점/정류점(stationary point)은 x = -p/2에 한 개만 존재함을 확인할 수 있습니다.
2차 도함수를 살펴보겠습니다.
따라서 변곡점은 존재하지 않음을 알 수 있습니다.
끝으로 정류점에서의 2차 도함수의 값을 확인하겠습니다.
따라서 정류점은 극소(local minimum)입니다. [만약 y = A(x2 + px + q)2에서 계수 A가 음수면, 정류점은 극대(local maximum)으로 나타납니다. 우리가 방금 살펴본 건 A = 1인 경우입니다.]
3) 탐구 과제: 4차 함수의 대칭성
근의 종류와 위치에 따라 그래프가 대칭으로 나타나기도 하고, 비대칭으로 나타나기도 합니다. 위 9가지 그래프의 대칭성을 요약하면 다음과 같습니다.
(3), (5), (9): 항상 대칭으로 나타남.
(2), (4), (6), (7) : 항상 비대칭으로 나타남.
(1), (8): 경우에 따라 다르게 나타남.
여기서 경우에 따라 대칭성이 다르게 나타나는 (1), (8)를 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.
과제1) (1)에서는 네 실근의 위치를 대칭으로 만들면 그래프도 대칭으로 나타납니다. 이를 수식을 통해 확인해보겠습니다.
스텝1) 네 실근을 중심값 p를 기준으로 각각 ±d와 ±D만큼 떨어져 있다고 해봅시다. (d는 거리를 뜻하는 distance에서 차용했습니다.)
스텝2) 이때 4차 함수는 다음과 같이 나타납니다.
스텝3) 1차, 2차 도함수를 구해보면:
여기서
1차 도함수는 x = p에 대한 기함수(奇函數, odd function, 홀수 기奇),
y와 2차 도함수는 x = p에 대한 우함수(偶函數, even function, 짝 우偶)
이기 때문에 4개의 근, 3개의 극점, 2개의 변곡점이 모두 x = p를 기준으로 대칭으로 나타난다는 걸 알 수 있습니다.
과제2) (8)에서는 그래프가 대칭으로 나타나는 경우가 있고 그렇지 않은 경우가 있습니다. 언제 대칭으로 나타나는지 살펴보겠습니다. 이를 질문으로 정리하면 다음과 같습니다.
질문: 두 쌍의 켤레복소근을 갖는 4차 함수의 그래프는 언제 대칭으로 나타나는가?
스텝1) 두 켤레복소근을 a ± bi, c ± di라고 해봅시다. 이때 4차 함수는 다음과 같이 나타납니다.
스텝2) 극점과 변곡점을 파악하기 위해 1차, 2차 도함수를 구해보겠습니다.
스텝3) 변곡점을 찾아보겠습니다. 변곡점은 2차 도함수가 0이 되는 곳입니다.
두 개의 변곡점이 (a + c)/2를 중심으로 같은 거리 만큼 떨어져 있다는 걸 알 수 있습니다.
스텝4) 4차 함수의 그래프가 대칭으로 나타나기 위해서는 두 변곡점의 중심값인 x = (a + c)/2에서의 기울기가 0이어야 합니다. 따라서 dy/dx가 x = (a + c)/2에서 0이기 위한 조건을 찾아보겠습니다.
결론) 이를 통해 복소근의 실수부가 같거나(a = c), 허수부의 절댓값이 같아야 한다(b = ±d)는 걸 알 수 있습니다. [이를 통해 한 쌍의 중복된 켤레복소근을 갖는 (9)가 늘 대칭으로 나타나는 이유도 이해할 수 있습니다. (9)는 실수부와 허수부의 조건을 둘 다 만족시키는 경우입니다.]
끝으로 이 세 가지 경우(a = c 또는 b = d 또는 b = -d)에 4차 함수가 어떤 형태로 나타나는지 살펴보겠습니다.
스텝5) a = c인 경우: 4차 함수는 다음과 같이 x = a에 대한 우함수로 나타납니다.
이때의 1차, 2차 도함수를 구하면:
1차 도함수는 x = a에 대한 기함수(奇函數, odd function, 홀수 기奇)입니다. 그리고 1차 도함수의 실근은 x = a 하나이기 때문에, 그래프는 하나의 극점을 갖는 u 모양 또는 n 모양으로 나오게 됩니다.
2차 도함수는 x = a에 대한 우함수(偶函數, even function, 짝 우偶)입니다. 그리고 2차 도함수의 실근은 없기 때문에 변곡점이 존재하지 않습니다.
스텝6) b = d 또는 b = -d인 경우: 이 둘을 원래 따로 다룰 계획이었지만 함수식을 보면 b와 d가 제곱으로만 등장하기 때문에 동일한 함수식을 얻게 된다는 걸 알 수 있습니다.
이때의 1차, 2차 도함수를 구하면:
1차 도함수는 x = (a+c)/2에 대한 기함수(奇函數, odd function, 홀수 기奇)입니다. 그리고 1차 도함수의 실근의 개수는 (a - c)2 - 4b2의 부호에 따라 1개 또는 3개입니다. 실근이 1개일 때는 u 또는 n 모양이고, 실근이 3개일 때는 w 또는 m 모양으로 나타납니다.
2차 도함수는 x = (a+c)/2에 대한 우함수(偶函數, even function, 짝 우偶)입니다. 그리고 2차 도함수의 실근의 개수도 (a - c)2 - 4b2의 부호에 따라 0개 또는 2개입니다. 실근이 없을 때는 u 또는 n 모양이고, 실근이 2개일 때는 w 또는 m 모양으로 나타납니다.
4) 근과 계수의 관계: Σα, Σαβ, Σαβγ, αβγδ
Relationship between roots and coefficients
4차 방정식의 근이 α, β, γ, δ일 때, 다음과 같이 계수 a, b, c, d, e와의 관계를 찾을 수 있습니다.
스텝1) 방정식의 근이 α, β, γ, δ라는 건 4차 방정식이 다음과 같이 인수분해가 가능함을 뜻합니다.
스텝2) 우변을 펼칩니다.
스텝3) 양변의 3차항, 2차항, 1차항과 상수항의 계수를 비교하면 4차식의 근과 계수의 관계를 찾을 수 있습니다.
여기 소개된 Σα, Σαβ, Σαβγ는 나중에 공식을 일반화할 때 유용한 기호들입니다.
5) 예제
예제1) 4차 방정식 4x4 - 6x3 - 24x2 + 14x + 12 = 0의 네 근은 α, β, γ, δ이다. α, β, γ, δ의 값을 구하지 않은 채, 다음을 구하여라.
풀이) a = 4, b = -6, c = -24, d = 14, e = 12입니다.
코멘트: 주어진 4차 방정식의 네 근은 α = -2, β = -1/2, γ = 1, δ = 3입니다. 이를 이용하여 위 결과를 확인할 수 있습니다.
예제2) 4차 방정식 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0의 네 근이 α = 1-2i, β = 1+2i, γ = 1, δ = 2일 때, 정수 계수 a, b, c, d, e를 구하여라.
풀이) 근과 계수의 관계를 이용하면:
이제 4차식을 적어보면:
따라서 a = 1, b = -5, c = 13, d = -19, e = 10입니다. (엄밀히 말하면 a, b, c, d, e에 대해 주어진 조건이 정수 조건 밖에 없으므로, 위 식에 0이 아닌 어떠한 정수 k를 곱해도 무방합니다. 즉, a = k, b = -5k, c = 13k, d = -19k, e = 10k (k ≠ 0)라고 쓸 수 있고, 우리는 그중 k = 1을 선택한 것입니다.)
예제3) 4차 방정식 x4 + 2x3 + px2 + qx - 60 = 0 (x ∈ C, p, q ∈ R) 의 네 근은 α, β, γ와 δ이고, γ = -2 + 4i, δ = γ*이다.
(a) α + β - 2 = 0과 αβ + 3 = 0임을 보여라.
(b) 이 결과를 이용하여 4차 방정식의 근을 구하고, p와 q의 값을 구하여라.
풀이) 문제의 전체적인 구조를 파악하기 위해 근과 계수의 관계를 나열해보겠습니다.
여기서 γ, δ는 주어졌으므로 결국 네 개의 변수(α, β, p, q)에 대한 네 개의 연립방정식을 얻게 됩니다.
문제에 주어진
를 이용하면 (γ + δ)와 γδ를 구할 수 있습니다.
이를 이용하여 위 연립방정식들을 다시 정리하면 다음과 같습니다.
(a) 위 연립방정식에서 p와 q가 없는 (1)과 (4)를 이용하면 됩니다.
(b) α와 β의 값은 방금 얻은 두 연립방정식을 풀면 구할 수 있습니다.
따라서 4차식의 네 근은 3, -1, -2 ± 4i입니다. (여기서 α와 β는 4차식의 두 근을 의미하기 때문에 3과 -1 중 어떤 걸 α, β로 선택하든 아무런 차이가 없습니다.)
p와 q의 값은 (2)와 (3)을 이용하여 구할 수 있습니다.
참고1: 다른 풀이법) 문제에서 주어진 γ = -2 + 4i, δ = -2 - 4i를 두 근으로 갖는 2차식을 찾을 수 있습니다.
이를 이용하여 주어진 4차식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
우변을 펼치면 p = 9, q = -52라는 걸 알 수 있고, 인수 (x2 - 2x - 3)을 통해 나머지 두 근 α = 3, β = -1도 찾을 수 있습니다.
참고2) 이 문제는 결국 계수 a, b, e가 주어질 때, 두 근 α, β와 계수 p, q를 구하는 문제입니다.
α, β, p, q를 a, b, e, γ, δ에 대한 수식으로 나타내어 보겠습니다.
p를 다시 정리하면:
문제에 주어진 값들을 이 공식에 대입하면 p = - 60/20 + 20 - [2 + (-4)](-4) = - 3 + 20 - 8 = 9로 동일한 결과가 나오는 걸 확인할 수 있습니다.
마찬가지로 q를 정리하면:
문제에 주어진 값들을 이 공식에 대입하면 q = 60/20 x (-4) - [2 + (-4)](20) = - 12 - 40 = - 52로 동일한 결과가 나오는 걸 확인할 수 있습니다.
6) 연습문제
Q1) α, β, γ, δ는 4차 방정식 4x4 + 3x3 + 2x2 - 5x - 4 = 0의 근이다. 4차식을 풀지 않은 채, 다음을 구하여라.
답) (a) -3/4 (b) 1/2 (c) 5/4 (d) -5/4
Q2) α, β, γ, δ는 4차 방정식 2x4 + 4x3 - 3x2 - x + 2 = 0의 근이다. 다음을 구하여라.
답) (a) -2 (b) -3/2 (c) 1/2 (d) 1 (e) 1/2
Q3) α, β, γ, δ는 4차 방정식 x4 + 3x3 + 2x2 - x + 4 = 0의 근이다. 다음을 구하여라.
답) (a) -3 (b) 2 (c) 1 (d) 4 (e) 16
Q4) α, β, γ, δ는 4차 방정식 7x4 + 6x3 - 5x2 + 4x + 3 = 0의 근이다. 다음을 구하여라.
답) (a) -6/7 (b) -5/7 (c) -4/7 (d) -4/3 (e) 27/343
Q5) 4차 방정식 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0의 네 근이 α = -3/2, β = -1/2, γ = -2, δ = 2/3일 때, 정수 계수 a, b, c, d, e를 구하여라.
답) a = 12, b = 40, c = 25, d = -20, e = -12
Q6) 4차 방정식 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0의 네 근이 α = -1/2, β = 1/3, γ = 1+i, δ = 1-i일 때, 정수 계수 a, b, c, d, e를 구하여라.
답) a = 6, b = -11, c = 9, d = 4, e = -2
Q7) 4차 방정식 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0의 네 근이 다음을 만족할 때, 정수 계수 a, b, c, d, e를 구하여라.
답) a = 72, b = -102, c = -25, d = 53, e = -12
Q8) 4차 방정식 x4 - 16x3 + 86x2 - 176x + 105 = 0의 네 근이 α, α+k, α+2k와 α+3k이다. (단, k는 실수.) 이때 네 근의 값을 구하여라.
답) x = 1, 3, 5, 7
Q9) 4차 방정식 3072x4 - 2880x3 + 840x2 - 90x + 3 = 0의 네 근이 α, rα, r2α와 r3α이다. (단, r은 실수.) 이때 네 근의 값을 구하여라.
답) x = 1/2, 1/4, 1/8, 1/16
Q10) 4차 방정식 40x4 + 90x3 - 115x2 + mx + n = 0의 세 근이 1, -3와 1/2이다.
(a) 네 번째 근을 구하여라.
(b) m과 n의 값을 구하여라.
답) (a) -3/4 (b) m = -60, n = 45
Q11) 4차 방정식 2x4 - 34x3 + 202x2 + dx + e = 0의 네 근이 α, α+1, 2α+1과 3α+1이다.
(a) α의 값을 구하여라.
(b) d과 e의 값을 구하여라.
답) (a) 2 (b) d = -494, e = 420
Q12) 4차 방정식 4x4 - 19x3 + px2 + qx + 10 = 0의 네 근이 α, β, γ, δ이다. (x ∈ C, p, q ∈ R) 그리고 γ = 3+i, δ = γ*이다.
(a) 4α + 4β + 5 = 0과 4αβ - 1 = 0임을 보여라.
(b) 따라서 4차 방정식의 네 근과 p, q의 값을 구하여라.
(c) 네 근을 아간드 다이어그램에 표시하여라.
답) (b) x = -1, -1/4, 3+i, 3-i
Q13) 4차 방정식 6x4 - 10x3 + 3x2 + 6x - 40 = 0의 네 근이 α, β, γ, δ이다.
(a) (1-3i)/2가 위 방정식의 근임을 보여라.
(b) 4차식을 풀지 않은 채 나머지 세 근을 구하여라.
(c) 네 근을 아간드 다이어그램에 표시하여라.
답) (b) (1+3i)/2, 2, -4/3
(끝)
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![[P4] 2.4 4차 방정식의 근과 계수의 관계 I (2024)](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAEAAAABCAQAAAC1HAwCAAAAC0lEQVR42mP8/h8AAvMB+NzmkbcAAAAASUVORK5CYII=)