이차방정식의 근의 공식과 근과 계수의 관계 (2024)

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앞에서 인수분해를 이용한 2차방정식의 풀이에 대해서 설명했습니다. 오늘은 계수가 어떤 모양을 가지고 있어도 2차방정식의 근을 구할 수 있는 근의 공식을 소개하고자 합니다. 예전에 개콘에서 한 개그맨이 '산할아버지'라는 노래에 가사를 근의 공식으로 바꿔서 부르는 모습을 한 번 본 적이 있는데 이런 방법으로 기억을 한다면 재미도 있으면서 쉽게 기억이 되기도 할 것 같습니다. 하지만, 단순히 기억만 한다고 해서 되는 것이 아니고, 서술형에서 굉장히 잘 묻기 때문에 근의 공식을 유도하는 과정도 반드시 알고 있어야만 합니다.

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1. 근의 공식 : 앞글에서도 한 번 설명했지만 근의 공식이라는 것은 2차방정식을 완전제곱식으로 만들고 나서 제곱근을 이용하여 근을 구하는 과정을 일반화 시킨 모양입니다. 2차방정식이 인수분해가 되지 않는 경우 근의 공식을 이용하면 쉽게 근을 구할 수 있고, 인수분해가 되는 경우라 하더라도 근의 공식을 이용해도 됩니다.

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다음은 근의 공식의 유도과정입니다. 근의 공식의 고등학교 과정에서까지 계속 사용합니다. 반드시 기억해 두시고, 유도과정도 같이 기억해두시기 바랍니다.

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특히, 일차항의 계수인 b가 짝수인 경우에만 사용하는 짝수 공식이 있습니다. 물론 짝수 공식은 사용하지 않아도 상관은 없지만 익숙해지면 그만큼 편해지기도 하고, 학교에 따라서는 선생님 중에 근의 공식과 짝수 공식을 반드시 구분해서 사용하도록 강조하시는 선생님도 계시기 때문에 함께 기억하고, 반복 사용하여 자연스럽게 적용할 수 있도록 연습하세요.

즉, 위의 모양에서 확인할 수 있듯 분모와 분자를 2로 약분한 모양이 짝수 근의 공식입니다.

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위의 두 근의 공식에는 공통적으로 근호가 붙어 있습니다. 중학교 과정까지에서는 무리수를 포함한 실수까지 만을 다루기 때문에 근호 안에 음수가 있어서는 안됩니다. 따라서 근호 안의 값이 양수냐 0이냐 음수냐에 따라서 근의 종류를 구분할 수 있습니다. 이때 근호 안쪽 부분의 식의 모양을 근의 종류를 판별할 수 있다 하여 판별식이라고 부릅니다.

1-1 판별식 (Discriminant)

: 근의 종류를 판단하고 구별할 수 있는 식으로 영어 단어의 머리글자를 따서 보통 D라고 많이 쓰고 있습니다.

(1) 서로 다른 두 실근

근의 공식을 확인해 보면 근호 앞에 +와 -의 복부호가 있는 것을 볼 수 있습니다. 이것은 근호 안(D)의 값이 0보다 크다면 분자가 -b에서 같은 값을 더하고 빼주는 것이기 때문에 같은 값이 될 수 없습니다. 따라서 서로 다른 두 개의 실근을 갖게 됩니다.

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(2) 중근

근호 안이 0이라면 근호 부분은 없어지기 때문에 구하는 값은 딱 하나만 나온다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 이것은 이차방정식을 인수분해 했을 때, 완전제곱식이 된다는 것과 같은 표현이 됩니다.

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(3) 근이 없다.

근호 안이 0보다 작아지면 실수 범위 안에서는 그 값을 구할 수가 없습니다. 즉, 존재하지 않는 값이기 때문에 그 방정식의 근을 구하는 것이 불가능합니다. 따라서 이 경우에는 근이 없게 됩니다.

위의 3가지 조건을 판별식의 모양으로 정리하면 다음과 같습니다. 짝수 공식에 대해서도 같은 조건이 됩니다.

이전 글에서 인수분해를 할 때, 완전제곱식이 되기 위해서는 2차항의 계수가 1일 때, 상수항이 일차항의 계수의 절반의 제곱이 되어야 한다고 했었는데, 그것보다 쉽게 판단할 수 있는 방법이 판별식 D=0을 이용하는 방법입니다.

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1-2. 식의 형태가 복잡한 경우의 근을 구하는 방법

계수가 분수나 소수의 형태를 가지고 있다면 방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하거나, 10, 100, 1000,...을 곱해서 모든 계수가 정수가 되도록 만든 다음, 인수분해나 근의 공식을 이용해서 풀어줍니다. 괄호로 묶여있다면 괄호를 풀어 전개를 한 다음 풀던지, 아니면 괄호로 묶인 부분이 식 안에서 반복이 되어 같은 모양을 갖는 경우에는 한 문자로 치환을 해서 풀이를 하고, 치환한 문자의 값을 구했다면 다시 원래 문자의 근을 찾아주어야 합니다. 이점은 꼭 주의하세요. 보통 치환을 하는 경우에 치환한 문자의 근을 구하고 나서, 그대로 두는 경우가 많은데 문제에서 풀라는 방정식은 원래 문자에 대해서 풀라는 것이지 치환한 문자에 대해서 풀라는 것이 아니라는 점을 명심하세요. 치환해서 생기는 문자는 푸는 사람이 임의로 만든 것이기 때문에 사람마다 다르게 잡을 수도 있는 것입니다. 하지만 원래 문자의 값은 누가 풀어도 같은 값이 되어야 합니다.

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2. 두 근을 알 때 2차방정식 만들기

이전의 글과 앞에서 2차방정식이 주어지면 인수분해를 이용하거나, 완전제곱식을 이용하여 제곱근을 찾는 방법, 그리고 근의 공식을 이용하여 근의 구하는 방법에 대해서 설명했습니다. 이번에는 반대로 두 근을 알고 있을 때, 방정식을 구하는 방법을 설명하겠습니다.

위의 2가지 경우는 모두 2차항의 계수가 1일 때입니다. 2차항의 계수가 1이 아니라면 마지막으로 양변의 식 전체에 2차항의 계수에 해당하는 값을 곱해주어야 합니다.

상황에 따라서 사용해야 하는 방법이 다를 수 있기 때문에 두 가지 모두 기억을 해두세요. 근과 계수의 관계는 아래에서 설명합니다.

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3. 근과 계수의 관계

2차방정식을 다루는 데 있어서 근을 직접 구하는 근의 공식과 더불어 근과 계수의 관계가 굉장히 중요한 내용입니다. 즉, 두 근이 2차방정식의 각 계수와 어떤 관계를 가지고 있느냐는 것입니다. 근의 공식으로부터 확인을 해보도록 하겠습니다

즉, 두 근을 알고 있고, 2차항의 계수를 알고 있다면 나머지 일차항의 계수나 상수항을 직접 구할 수도 있다는 것입니다. 위에서는 근의 공식으로부터 확인을 했지만, 인수분해를 통해 근을 구할 수 있는 경우에도 확인해 보겠습니다.

근의 공식을 이용해서 확인한 내용과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 참고로 두 근의 차를 요구하는 경우도 있는데 2가지 방법을 소개하도록 하겠습니다. 먼저 곱셈공식의 변형 공식을 이용하는 방법이 있고, 근의 공식을 이용해서 직접 빼는 방법인데 두 근 중에서 어느 것이 더 큰 값인지를 모르기 때문에 절댓값을 이용하여 표현합니다.

4. 한 근이 무리수일 때의 2차방정식

주어진 2차방정식에서 상수항을 포함한 모든 계수가 유리수인 경우에 유리 계수 방정식이라고 부르며, 이때 한 근이 무리수의 형태를 갖는 무리근이라면 나머지 한 근은 근호 앞의 부호가 반대인 무리근이 됩니다. 이것은 근의 공식의 모양을 보면 확인이 가능한데 근호가 a, b, c가 모두 유리수인 경우에 근의 공식을 이용해서 근을 구했을 때, 근호 부분이 남는다면 반드시 근호 앞이 +인 경우와 -인 경우 2가지가 나온다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 무리근이 나온다면 반드시 근호 앞의 부호가 반대인 또 따른 한 근이 자동으로 따라오게 됩니다. 하지만 계수가 유리수가 아니라면 판별식의 모양을 갖는 부분과는 상관없이 근호가 있을 수 있기 때문에 이 경우에는 한 근이 주어져도 나머지 한 근을 바로 알 수는 없습니다.

무리수 부분의 부호만 반대로 나타나면서 쌍을 이룬다고하여 켤레근이라고 부릅니다. 이것은 근의 공식으로부터 모양을 확인할 수도 있지만, 한 근이 주어졌으므로 직접 방정식에 대입하여 무리수가 같을 조건을 이용해서도 확인이 가능합니다.

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