El volumen de un tronco de cono es el espacio ocupado por esta figura geométrica. Para comprender qué es un tronco de cono, tomemos un ejemplo. Supongamos que un cono se divide (o se corta) en dos partes por un plano paralelo a su base (o perpendicular a su altura). Entre estas dos partes, la que contiene la base del cono se llama tronco de cono. También se le conoce como cono truncado. El volumen de un tronco de cono se calcula mediante la fórmula V = H/3 (S1 + S2 + √(S1S2)), donde H es la altura del tronco de cono y S1 y S2 son las áreas de sus bases. Utilizaremos esta fórmula para calcular el volumen del tronco de cono.
¿Cuál es el Volumen del Tronco de Cono?
El volumen de un tronco de cono es la cantidad de espacio que se encuentra dentro de él, es decir, la cantidad de materia que puede contener. Se mide en unidades cúbicas como cm³, m³, in³, etc. Cuando una figura tridimensional con un vértice (o ápice) se corta por un plano (paralelo a la base de la figura) en dos partes, la parte de la figura que contiene la base se llama tronco de la figura. Por ejemplo, una pirámide cuadrada se puede cortar en dos partes como se mencionó anteriormente, entonces una de las partes con la base se llama tronco de una pirámide cuadrada. Hay diferentes tipos de troncos como el tronco de cono (o cono truncado), el tronco de una pirámide cuadrada (o pirámide cuadrada truncada), el tronco de una pirámide triangular (o pirámide triangular truncada), etc. Un tronco se determina por:
- Su altura.
- Su radio de base 1 (radio de una base).
- Su radio de base 2 (radio de la otra base).
Fórmula del Volumen del Tronco de Cono
El volumen de cualquier tronco (de cualquier forma) se puede calcular utilizando su altura y las áreas de sus bases. Consideremos un tronco de cono de altura H y áreas de base (S_1) y (S_2). Entonces su volumen se calcula utilizando la fórmula:
Volumen del tronco de cono, V = (\dfrac{H}{3}\left(S{1}+S{2}+\sqrt{S{1} S{2}}\right)), donde H = Altura del tronco de cono (la distancia entre los centros de las dos bases del tronco de cono) (S_1) = Área de una base del tronco de cono (S_2) = Área de la otra base del tronco de cono
Fórmula del Volumen del Tronco de Cono Utilizando la Altura Inclinada
Consideremos un tronco de cono de radios 'R' y 'r', y altura 'H' que se forma a partir de un cono de radio de base 'R' y altura 'H + h'. La relación entre la altura (H), la altura inclinada (L) y los radios de base R y r del tronco de cono es L² = H² + (R - r)². Podemos utilizar esta fórmula para calcular uno de los valores desconocidos entre 'r', 'R' y 'H' y luego podemos encontrar el volumen (V) del tronco utilizando la fórmula:
Volumen del tronco de cono = πh/3 [ (R³ - r³) / r ] (O) Volumen del tronco de cono = πH/3 (R² + Rr + r²)
Método 1 para Derivar la Fórmula del Volumen del Tronco de Cono
Utilizaremos la fórmula del volumen del tronco de cono (de la sección anterior) para derivar la fórmula del volumen del tronco de un cono circular. Las áreas de base (áreas de círculos) del tronco de cono de la figura anterior son:
(S_1) = πR² (S_2) = πr²
Sustituyendo estos valores en la fórmula del volumen del tronco de cono:
V = (\dfrac{H}{3}\left(S{1}+S{2}+\sqrt{S{1} S{2}}\right)) V = (\dfrac{H}{3} (\pi R^2 + \pi r^2 + \sqrt{\pi R^2 \cdot \pi r^2})) V = (\dfrac{\pi H}{3}\left(R^{2}+R r+r^{2}\right))
Hemos derivado una de las fórmulas del volumen del tronco de cono en este método. Pero podemos derivar ambas fórmulas utilizando el siguiente método.
Método 2 para Derivar la Fórmula del Volumen del Tronco de Cono
El volumen del cono completo es πR² (H + h) / 3. El volumen del cono (con ápice) que se corta es πr²h / 3. Tenemos:
El volumen del tronco de cono, V = Volumen del cono completo - Volumen del cono que se corta V = πR² (H + h) / 3 - πr²h / 3 ... (1)
Los triángulos OBC y PQC son similares (por la propiedad AA de la similitud) y, por lo tanto, (H + h) / h = R / r ... (2) H + h = Rh / r ... (3)
Sustituyendo esto en (1): V = πR² · (Rh / r) - πr²h / 3 V = πh/3 [ (R³ - r³) / r ]
Hemos derivado una fórmula del volumen del tronco de cono. Ahora vamos a derivar otra fórmula a partir de esta.
A partir de (2): (H / h) + 1 = R / r H / h = (R / r) - 1 H / h = (R - r) / r
Reciprocando en ambos lados: h / H = r / (R - r) h = (H r) / (R - r)
Sustituyendo esto en la fórmula anterior: V = (π / 3) [ (H r) / (R - r) ] [ (R³ - r³) / r ] V = πH/3 (R² + Rr + r²)
Hemos derivado la segunda fórmula del volumen del tronco de cono también.
Nota: La relación entre la altura inclinada (L), la altura (H) y los radios de base R y r del tronco de cono (utilizando el teorema de Pitágoras) es L² = H² + (R - r)². Es posible que necesitemos usar esto al resolver problemas relacionados con el volumen del tronco de un cono.